Why do we use the process of Prime Factorisation for obtaining LCM & HCF of some numbers?๐Ÿค”

-

 Prime factorization is a powerful tool for finding the Highest Common Factor (HCF) and Least Common Multiple (LCM) of numbers because it breaks them down into their most basic building blocks: prime numbers. Here's why it works so well:

1. Uniqueness of Prime Numbers:

  • Any whole number can be expressed as a product of prime numbers (and 1), in a single way. This is called the Fundamental Theorem of Arithmetic.
  • Prime numbers are the building blocks of whole numbers – they cannot be further broken down into smaller whole numbers.

2. HCF and LCM in terms of Prime Factors:

  • HCF: The HCF represents the greatest number that is a factor of both original numbers. In terms of prime factors, the HCF is the product of the highest powers of common prime factors present in both numbers.
  • LCM: The LCM represents the smallest number that is a multiple of both original numbers. In terms of prime factors, the LCM is the product of the highest powers of all the prime factors present in either number.

Benefits of using Prime Factorization:

  • Simplifies Calculations: Breaking down numbers into their prime factors allows us to focus on the individual prime numbers instead of manipulating large whole numbers. This can simplify calculations, especially for larger numbers.
  • Identifies Common Factors: By looking at the prime factorization of both numbers, it's easy to identify the common prime factors and their corresponding powers. This helps determine the HCF directly.
  • Efficient LCM Calculation: The LCM involves finding the highest power of each prime factor present in either number. Prime factorization makes it easy to identify these highest powers.

Example:

Let's find the HCF and LCM of 12 and 18 using prime factorization:

  1. Prime Factorization:

    • 12 = 2 x 2 x 3
    • 18 = 2 x 3 x 3

  2. HCF:

    • Highest powers of common prime factors: 2 x 3 (both numbers have 2 raised to the power of 1 and 3 raised to the power of 1)
    • HCF = 2 x 3 = 6

  3. LCM:

    • Highest powers of all prime factors: 2 x 2 x 3 x 3 (take the highest power of each prime factor that appears in either number)
    • LCM = 2 x 2 x 3 x 3 = 36

In conclusion:

Prime factorization provides a systematic and efficient way to find the HCF and LCM by focusing on the fundamental building blocks of numbers – prime numbers. It simplifies calculations, makes identifying common factors easier, and leads to a clear understanding of how these concepts relate to the underlying structure of numbers.

Comments

Post a Comment

Keep Learning!

Popular posts from this blog

Arise! Awake! And Go To The Greats!

-
This speech was written by Mohit, it was delivered on the occasion of National Youth Day at FIS (Manasa).     Speech Swami Vivekananda, in his childhood he was called Naren, was born on January 12, 1863 in Kolkata. His father, Vishwanath Datta, was an advocate in the High Court of Kolkata. Vishwanath had a deep interest in music and he thought of it as the source of much innocent pleasure. He used to read Bible and recite poems of Persian poet Hafiz with great joy. Naren's mother, Bhuvaneshwari Devi, was extraordinarily intelligent and it was her habit to study Sanskrit scriptures the Ramayan and the Mahabharata.     When Naren was studying in sixth class of Pandit Ishwar Chandra Vidyasagar's Institution, he was told that he would have to study English. He was not willing to do so. It was a foreign language, he said, so why should he learn it? The teachers persisted and Naren went home crying to his parents and there his father made him aware about the Joy of Learni...
Read more

How did Bhagat Singh join HSRA? (DeepSeek)

-
 Bhagat Singh's association with the Hindustan Socialist Republican Association (HSRA) was a pivotal chapter in India's freedom struggle. Here's a detailed account of his journey into the organization: --- Early Influences and Political Awakening 1. Family Background:      Bhagat Singh was born into a family deeply involved in the independence movement. His father, Kishan Singh, and uncle, Ajit Singh, were active revolutionaries, exposing him to nationalist ideas from a young age. 2. Impact of Jallianwala Bagh (1919):      The massacre at Jallianwala Bagh in 1919, when Bhagat Singh was 12, radicalized him. He openly defied British authorities by burning textbooks and symbols of colonial rule. 3. Rejection of Non-Violence:      Disillusioned by the slow progress of the Indian National Congress' non-violent methods, Bhagat Singh gravitated toward revolutionary ideologies. He famously said, *"Bombs and pistols do not make a r...
Read more

เคถेเค–เคฐ

-
เค…เคœ्เคžेเคฏ เคœी เค•เคนเคคे เคนैं ‘เคฎेเคฐा เคธเคš्เคšा เคชाเค เค• เคตเคนी เคนै, เคœो เคฎेเคฐा เคฒिเค–ा เคนुเค† เคธเคฎเคे เค”เคฐ เค‰เคธเค•े เค…เคจुเคธाเคฐ เค•เคฐ्เคฎ เค•เคฐे।’ เคถेเค–เคฐ เค•ो เคฒเค—เคคा, เค‰เคธเค•े เคถเคฐीเคฐ เคฎें เค•ोเคˆ เคชเคฐिเคตเคฐ्เคคเคจ เคนो เคฐเคนा เคนै। เค‰เคธे เคฒเค—เคคा, เคตเคน เคฌीเคฎाเคฐ เคนै; เค‰เคธे เคฒเค—เคคा, เค‰เคธเคฎें เคฌเคนुเคค เคถเค•्เคคि เค† เค—เคฏी เคนै; เค”เคฐ เคตเคน, เค…เคชเคจी เคฆुเคฎ เค•ा เคชीเค›ा เค•เคฐเคคे เคนुเค เค•ुเคค्เคคे เค•ी เคคเคฐเคน, เค…เคชเคจे เคนी เค†เคธเคชाเคธ เคšเค•्เค•เคฐ เค•ाเคŸเค•เคฐ เคฐเคน เคœाเคคा...      เค…เคชเคจे เคถเคฐीเคฐ เค•ी เคฎाँเค— เคตเคน เคจเคนीं เคธเคฎเคเคคा, เคฒेเค•िเคจ เค‰เคธे เคฒเค—เคคा, เคฏเคน เคฎाँเค— เค•ुเค› เค…เคจुเคšिเคค เคนैै, เค•ुเค› เคชाเคชเคฎเคฏ เคนै। เค”เคฐ เคตเคน เคšाเคนเคคा เค•ि เค•िเคธी เคคเคฐเคน เค‰เคธे เคฆเคฌा เคกाเคฒे, เค•ुเคšเคฒ เคกाเคฒे, เคงूเคฒ เคฎें เคเคธा เคฎिเคฒा เคกाเคฒे เค•ि เค‰เคธเค•ा เคชเคคा เคญी เคจ เคฒเค—े, เคšाเคนे เคถเคฐीเคฐ เคนी เค‰เคธเค•े เคธाเคฅ เค•्เคฏों เคจ เคจเคท्เคŸ เคนो เคœाเคฏ...      เคตเคน เคฎเคจ เค‰เคธ เคชเคฐ เคธे เคนเคŸाเคจा เคšाเคนเคคा। เคฏเคน เคคो เคตเคน เคœाเคจเคคा เคจเคนीं เคฅा เค•ि เค•िเคธ เคคเคฐเคน เคธे เคถเคฐीเคฐ เคธे เคฎเคจ เคนเคŸाเค, เคฒेเค•िเคจ เค•เคตिเคคा เคฎें เคฐुเคšि เคฅी, เค”เคฐ เค‡เคธเคฒिเค เค‰เคธे เค†เคถा เคฅी เค•ि เคตเคน เค‰เคธเคฎें เค…เคชเคจे เค•ो เคญुเคฒा เคธเค•ेเค—ा। เคตเคน เคนเคฐ เคธเคฎเคฏ, เคนเคฐ เคช्เคฐเค•ाเคฐ เค•ी เค•เคตिเคคा เคชเคข़เคจे เคฒเค—ा। เค‰เคธเคจे เคธंเคธ्เค•ृเคค-เค•เคตि เคชเคข़े, เค‰เคธเคจे เค‰เคฐ्เคฆू เคธे เค…เคจुเคตाเคฆ เคชเคข़े, เค‰เคธเคจे เคœो เค•เคตि เค‰เคธเค•ी เคชाเค ्เคฏ-เคชुเคธ्เคคเค•ों เคฎें เคฅे — Tennyson, Wordsworth, Shelley, Christina Rossetti, Scott — เคธเคฌ เคชूเคฐे เคชเคข़ เคกाเคฒे। เคซिเคฐ เค‰เคธเคจे เคตे เค•เคตि เคชเคข़เคจे เค†เคฐเคฎ्เคญ เค•िเคฏे, เคœो เค‰เคธเค•ी เคชुเคธ्เคคเค•...
Read more